Prazer é efêmero, algo que vem de estímulos externos, tipo comer algo que gosta, fazer

sexo, ter uma boa noite de sono. Mas esses sentimentos são bem momentâneos e não indicam felicidade. Aliás, o hedonismo pode ser bem ruim, porque pra essa falsa sensação de felicidade temos que continuar recebendo estímulos externos.
O prazer pode ajudar na conquista da felicidade, desde que não desperte sentimentos antagônicos (exemplo, trair pra conseguir uma noite de prazer).

Já felicidade emana do interno. É algo que dura e não necessita de estímulos externos, só estar bem consigo mesmo.