Compra on-line com cartão de crédito que não é meu!

Estou com um cartão de crédito aqui e gostaria de comprar on-line em uma loja virtual. O nome do estabelecimento que vai receber a compra aparecerá na fatura. Mas o proprietário do cartão tem como saber quem foi que efetuou tal compra? Ou seja, tem como ele entrar em contato com o banco ou com a loja e perguntar o nome da pessoa que comprou?