As duas tem o mesmo significado, porém muda a forma de comunicação.

Na primeira "I dont",

significa não ter. "I dont have money" -> "Eu não tenho dinheiro"

Já na segunda "I have no", a palavra "no" serve para enfatizar a sua afirmação. Logo, a palavra "no" nesse caso significa "nenhum(a)". Por exemplo, "I have no money". -> "Eu não tenho nenhum dinheiro."

Porém, existe uma regra no inglês em que não pode haver outra palavra negativa na mesma frase quando se utilizar o "no".

Então você não pode falar por exemplo "I dont have no money", nesse caso a palavra "no" deixa de significar "nenhum" e passa a significar "não".

Logo a pessoa nativa estaria entendendo o "no" como "não", ou seja, "Eu não tenho não dinheiro". O que torna a frase errada.

A mesma coisa acontece com "I haven't no money", "I have not no money", "I have no any money", etc.

Então nesse caso o ideal seria utilizar o dont, ficando "I dont have any money" ou "I dont have money"