Mensagem de aniversário é uma boa estratégia para uma reaproximação?

Acho que sim

Não tem muito o que dizer depois dos parabéns.

Depende. Por que se afastaram? O motivo que deu razão ao afastamento já foi sanado? Passou tempo suficiente para realizar mudanças das partes?
Essas ponderações devem ser feitas antes que mande uma mensagem de aniversário.
Se as respostas em sua maioria foi sim, então vale a tentativa de reaproximação. Mas não crie expectativas. Tente. Se o retorno não for o esperado, está tudo bem. Ao menos vc tentou.

Acho legal!

Não, se ela não vem mais falar contigo, você não faz mais parte do mundinho de tal pessoa.
Aceite que dói menos.

Se aproximou uma vez, não deu certo, vai tentar de novo? Larga mão de ser burro, cara.

Tem que ser com carro de som, senão não vale!