Quando a pessoa entra na casa pagando, quando a mesma sai da casa ele tem mês sem pagar?

Se entrou pagando, adiantou o aluguel. O último mês é na faixa. Se tem todos os comprovantes na mão, tá facinho isso daí.

Vamos aos fatos...

Sua mãe entrou na casa no dia 1 de janeiro (por exemplo) e pagou o aluguel (adiantado) que vai do dia 1 de janeiro até o dia 31 de janeiro.

Sua mão pagou todos os meses no dia 1 o aluguel (fevereiro, março, abril...)

Sua mãe decide no dia 1 de outubro, enquanto paga o aluguel, avisar que vai ficar até o dia 15 de novembro.

Ela esta pagando o mês de outubro, porem dia 1 de novembro ela precisa pagar o aluguel do mês.
Se o proprietário entrar de acordo ela paga metade, já que vai sair dia 15 do mesmo mês.

Se ela decidir sair no dia 25 de outubro ela não tem que pagar absolutamente nada referente ao mês de Novembro.

Mas tudo isso depende do que está acordado no contrato de locação do imóvel.

Ela que decida com quem ela fez combinado.

Tem contrato de aluguel feito que fala de multa se sair da casa? Meu pai cobra essas coisas de multa

Normalmente funciona assim, a pessoa entra e paga o valor do mês e um caução que servira de garantia pra que fique mais um mês ( se o valor do caução for só de um mês ) contado do dia que termina o valor pago mensal, por exemplo se ela pagou o aluguel de abril e vai sair dia 01 de maio então ele devolveria esse dinheiro do caução mas se ela quisesse sair dia 31 de maio o dinheiro ficaria com ele. Nesse caso como não teve pagamento de caução você deve observar a data que ele quer sair, se foi pago o mês de março e ela quer sair em abril então ele está certo, ela deve pagar os dias que ficará até se mudar.

Depende do contrato. Fizeram contrato?

Depende do contrato ou acordo que eles(sua mãe e o locador) fizeram.No caso sua mãe deu um adiantamento ou um calção, dependendo do contrato, não seria necessário q ela pagasse o mês de saída do imóvel.
Se foi um acordo informal o locador, dono da casa, pode exigir que ela pague, porém nesse caso, a sua mãe, não seria obrigada-judicialmente - a pagar.
Do contrário, existindo um contrato sua mãe teria que pagar, mas ela teria que ver/ler certinho o contrato, pra ver se é isso msm.