É o obstetra que anota o horário de nascimento do bebê?

Não necessariamente, pode ser o obstetra, o residente de obstetrícia ou o doutorando. Isso é feito em um documento chamado DNV (declaração de nascido vivo).
Eu, por exemplo, já registrei muitas DNV's, mas quem carimba no final normalmente é o residente.

Normalmente, a pessoa que observa o horário é a enfermeira obstétrica que acompanha o parto, quando todo o corpo da criança sai, mas qualquer profissional de saúde da equipe pode fazer isso também na hora, nem toda vez é colocada a hora exata.

Qualquer profissional da saúde pode anotar, mas assinar o documento só o obstetra mesmo.

Não, é o próprio bebê que anota.

Com o sangue da luva

Não, é Deus.