Quando uma pessoa faz intercâmbio, independente do tempo, como ela pode fazer para permanecer no país e...

Não tem como, pois o visto é de estudante.

Passar o resto da vida fugindo da polícia.

Não

Há várias maneiras de se fazer isso, principalmente nos EUA, onde a grande maioria permanece ilegalmente. A grande questão é que só vale a pena permanecer ilegal se você tiver uma renda e conseguir se manter no país, dessa maneira é mais fácil do governo lhe fornecer uma licença, que te da os direitos de um cidadão americano, juntamente com o pagamento de impostos, que é o que interessa a eles.
Fora as outras maneiras meio exageradas, como casamento arranjado e afins.