Na verdade, qualquer estabilidade é uma grande utopia.
Se o país quebrar economicamente, surgir uma guerra, um governo ditador der um golpe, ou uma simples reforma das leis no país, acaba tudo, trabalhar no setor público não vai te salvar de nada. Você só terá "estabilidade" enquanto as coisas permanecerem iguais, o que nem sempre acontece.
A verdadeira estabilidade é quando você se prepara para as adversidades que a vida te coloca.
Não é porque você trabalha no setor privado que você não tem estabilidade, tudo depende. Praticamente minha família inteira é do setor privado, trabalharam na mesma firma por anos, só meu pai trabalhou 20 anos na mesma empresa, saiu QUANDO QUIS. Meu avô ficou mais de 30 e se aposentou na Pirelli.
Se você é capaz, independente onde você esteja, você terá estabilidade. Escolha o que mais vai te fazer feliz e não porque "vai te dar estabilidade", isso não existe, cara.