Bom... é uma expressão que se refere a quando uma pessoa vai embora de algum lugar ou (em termos de jogos online) quando a pessoa morre... Por exemplo:
X: Cadê o Gustavo? Soube que ele estava muito doente
Y: Ah, ele foi de base (faleceu)
X: Cansei dessa aula
Y: Eu também, estou indo de base (indo embora)
Esta expressão é bastante utilizada entre jovens cá do Brasil, tornou-se popular nos últimos anos devido à popularização da jogatina online.
No caso que tu citaste, ele está a comunicar a sua mãe o fato de que dormirá ao finalizar a tarefa. A gíria, pois, é considerada um substantivo abundante, já que permite inúmeros significados; realizando-se uma análise morfossintática e contextual da frase, é possível chegar à conclusão de que foi aproximadamente isto o que ele quis dizer, visto que o ato de dormir pode ser interpretado como ir embora (ir de base) temporariamente da realidade.
De qualquer forma, o ambiente situacional em que tal expressão foi utilizada, é considerado indevido por muitos núcleos familiares, mas não há de se generalizar, é possível que em teu núcleo seja plenamente adequado.