A vingança é algo pessoal, é quando você quer (no geral, de forma desproporcional) descontar algo de ruim que uma determinada pessoa fez a você, normalmente motivado por ódio.
Justiça tende a ser mais racional e proporcional ao ato cometido. Normalmente, julgado por alguma entidade ou instituição, não pela pessoa que sofreu a agressão, pois esta em geral não tem capacidade de decidir a pena justa para uma pessoa que lhe fez alguma agressão.
É claro que o senso de justiça é algo relativo de pessoa para pessoa, de cultura para cultura e de povo para povo.
Há pessoas que acreditam que a verdadeira justiça deve ser 100% proporcional ao ato cometido, exemplo, se a pessoa matou, merece morrer, se roubou, tem que ter os bens confiscados pela justiça ou perder uma das mãos e etc... Outros acham que a justiça deve ser pior do que o ato cometido, um exemplo, o cara rouba carne no supermercado e lhe condenam a pena de morte. Outros, no entanto, acham que a justiça deve ser razoável e sempre buscar ser flexível independente do crime cometido, algo que tende acontecer em países do ocidente. A pessoa mata, mas é condenada a um valor X de pena que o juiz e a sociedade consideram ser "justo" pelo ato cometido, e assim vai....