A chuva aumenta a umidade do ar?

Não necessariamente, muitas vezes só serve de resfriamento do solo, subindo todo o calor da superfície e não umidificando o ar.

sim

Sim. Quando a chuva cai, ela adiciona água ao ar, o que aumenta a umidade. O ar saturado é definido como o ar que contém a maior quantidade de água possível, e a chuva é um dos principais contribuintes para esse aumento.

Sim. Onde tem diferença de pressão de vapor vai ter transporte de massa. Nesse caso da água da chuva para o ar com vapor de água.

Não