Incluir o nome do pai na certidão.

Quando meu filho nasceu, eu o registrei sozinha pois, estava brigada com o pai (Sei que fui egoísta).
Atualmente, conversamos e ele quer colocar o nome dele na certidão do nosso filho. Ele sempre cuidou dele, e o tratou bem.
Alguém sabe me informar se é só ir no cartório da cidade e pedir pra incluir o nome do pai? É gratuito? Precisa fazer DNA ??
(temos certeza de que ele é o pai !!)