Processar empresa suja a carteira?

Não.

A carteira em si não. Mas as empresas pesquisam todas as informações que estão ao alcance antes de contratar um funcionário. E uma informação que atrapalha MUITO a arrumar um emprego, é de que a pessoa já colocou uma empresa na justiça. Eles já pensam logo que se o funcionário tiver uma oportunidade, irá fazer o mesmo com eles também.

Que nada! Vai com esses pensamentos que as empresas se lucram. Exija seus direitos sim.
Muitas empresas nem pedem indicação nem uma.

Teu nome vai para o Jus Brasil.
Ver se compensa mesmo processar... Ver se compensa.

Não mesmo. O empregador é obrigado por lei a registrar todo o seu contrato na CTPS se não, ele pode ter que pagar outra vez na justiça do trabalho se você protocolar.

Não.

Acho que não

Limpa

Depende das circunstâncias.

Não necessariamente, mas é bom ter provas robustas pra conseguir ter bons resultados.