Essa alergia ao cloro de piscina se dá sobretudo nos olhos, não na pele. Os clorídricos causam um mal à pele danado, mas isto não é causado pelo cloro temperado de piscina comum.
Tu precisa consultar um dermatologista ou um alergologista e informá-lo disso, para ver se o problema não é outro tipo de alergia. Ou observar em que tipo de piscina você está mergulhando.