Eu tenho que checar alguma documentação antes de alugar uma casa? Como funciona isso?

Às vezes você faz um contrato em cartório. Veja a multa de recisão que sempre tem e as regras.

A água e luz depende, vai tá incluso? Caso não o cliente passa para o nome dele e tem que ir na operadora de água e energia para transferir

Sim, o contrato de aluguel.

Algumas muitas

Sim

Não tem

Sim, averiguação tanto dos seus documentos como do locador.
Depende do tipo de contrato/acordo. Normalmente passam para o novo inquilino essas despesas.
Dívidas anteriores são da responsabilidade do proprietário/locador.