Alguém sabe me dizer se quando a mandar a pessoa ir embora eles mandam ela fazer exame primeiro

Manda fazer exame

Só despede.

Mandam sim, mas isso é quando a demissão já foi comunicada e quase oficializada.
Geralmente quando mandam fazer exames é para manter a empresa dentro da lei e verificar a saúde dos colaboradores. Assim podendo evitar processos ou multas