Contrato de compra e venda serve para dizer que a casa está no meu nome?

A casa só estará no seu nome quando você pagar as "pessoas certas" e não me refiro ao antigo dono do imóvel de quem você efetivamente comprou.
Isso é o que deveria valer como legitimidade do negócio e não ter que pagar terceiros alheios de máfias cartorais.

Quer um conselho? Deixe como está e apenas espere os anos passarem. Basta pagar o IPTU em dia e guardar direitinho os comprovantes. Assim, você pode fazer aquela sonegação marota e, após 5 anos de posse do imóvel, o custo para alguém tomar de você torna-se inviável.

O contrato é apenas um acordo, assim que os termos do acordo forem concretizados, (geralmente isso só envolve o pagamento) você pode levar a documentação no cartório de registro de imóveis e fazer a escritura da casa no seu nome.

Não. Mas serve para comprovar que negociou o imóvel. Para estar em seu nome, tem que transferir a escritura para o seu nome e averbar em cartório de imóveis.

Se não tem escritura, não é seu.

Sim

Serve pra dizer que você comprou, mas ainda não é sua.

O contrato de compra e venda serve para tornar público o acordo que voce quer comprar a casa, mas não é obrigatório.
Depois da compra, tem a Escritura pública que vai validar esse acordo. E somente depois que voce fez esse trâmite, que voce vai em cartório registrar a matrícula do imóvel. Somente com a matrícula é que voce pode assegurar que o imóvel é realmente seu