Todo o sistema democrático dos EUA e iluminista em geral é uma apropriação (não querendo usar a palavra com alguma conotação pejorativa) dos ideias democráticos gregos, mesmo. Eles endeusavam os gregos e queriam criar um sistema baseado na civilização grega. Não tinha parado pra pensar sobre coincidir com a antiga dicotomia de república e democracia. O Partido Republicano surgiu depois do Democrata, então basta ver a origem do nome dele. Na Wikipédia tá assim:
"The Republican Party's founding members chose its name as homage to the values of republicanism promoted by Democratic-Republican Party, which its founder, Thomas Jefferson, called the "Republican Party". The idea for the name came from an editorial by the party's leading publicist, Horace Greeley, who called for "some simple name like 'Republican' [that] would more fitly designate those who had united to restore the Union to its true mission of champion and promulgator of Liberty rather than propagandist of slavery". The name reflects the 1776 republican values of civic virtue and opposition to aristocracy and corruption. "Republican" has a variety of meanings around the world, and the Republican Party has evolved such that the meanings no longer always align."
Aparentemente, pensava-se mais no Partido Republicano de Thomas Jefferson do que na dicotomia república x democracia. Mas o partido realmente foi criado com o propósito de combater o Partido Democrata, então, talvez esse aspecto do nome tenha passado na cabeça de alguns dos primeiros apoiadores. Mas aí exigiria uma pesquisa mais aprofundada.
Não entendi, a república ateniense era um modelo limitado de democracia. O conceito grego de democracia cencitaria tinha sérios problemas e não garantiam direitos a maioria dos cidadãos. Além de que a democracia não é esse Deus que muitos colocam a democracia como vimos várias vezes leve ao "trono", a seu posto mais alto governantes que são verdadeiros idiotas. O republicanismo também não é uma axioma universal.