Quando a gente paga uma dívida de cartão de crédito, conseguimos o cartão novamente?

Você perde tudo.

Sim, mas provavelmente não terá o mesmo limite.

Se não me engano dá pra solicitar uma nova via daquele cartão, mas não sei se isso é possível em todas as marcas ou bancos nos quais os cartões estão associados.
Se for algum cartão associado ao Itaú acho que dá.

Não

Voce nunca mais vê ele

Depende do tempo. Alguns cancelam com 61 dias de atraso, outros com 90. Você pode pedir uma nova análise de crédito.