Quando a gente paga uma dívida de cartão de crédito, conseguimos o cartão novamente?

Se não me engano dá pra solicitar uma nova via daquele cartão, mas não sei se isso é possível em todas as marcas ou bancos nos quais os cartões estão associados.
Se for algum cartão associado ao Itaú acho que dá.

Sim, mas provavelmente não terá o mesmo limite.

Depende do tempo. Alguns cancelam com 61 dias de atraso, outros com 90. Você pode pedir uma nova análise de crédito.