Aluguei uma casa, a pessoa pagou 1 mês e não se mudou. 1 mês após a locação a pessoa desistiu, pode aplicar multa?

Sim, a multa é proporcional ao período do contrato de locação. Sempre que há uma quebra de contrato ao alugar um imóvel, há multa.

Mas se isso tudo não estivem BEM especificado no contrato, vai ser mais complicado, vc pode recorrer a justiça, cada caso é um caso.