É possivel procurar um médico particular e solicitar para realizar uma endoscopia?

Se tiver o dinheiro necessário pra fazer o exame, sim.

Procurar pode até tentar, mas eles estão sempre se escondendo.

Claro que sim! Seria uma endoscopia de estômago? Ou uma colonoscopia pra ver o intestino? Seja o que for, é possível sim!

Sim, qualquer tipo de exame é possível.
Nesse exame aí acho que vc precisa do pedido de algum médico. Acho que não fazem esse exame sem o pedido.

Improvável

Pagando você faz quase qualquer tipo de exame, salvo algumas exceções.

Mas normalmente o médico vai ver se existe a necessidade do exame.

Quando eu preciso fazer exame de sangue, de rotina, eu nem peço ao médico, vou direto no laboratório, tiro o sangue, pago e espero o resultado de casa, na internet.

Acho que paga sim, não sei te dizer se pelo plano cobre ou sai mais barato

Sim, vá no especialista