Não sei especificamente como funciona em posto de saúde, mas todo órgão público geralmente tem um diretor/supervisor/gerente/presidente... Cada lugar tem um nome, mas sempre tem um responsável.
A pessoa responsável por um posto de saúde geralmente é o diretor ou diretor(a) clínico(a), que é responsável por coordenar as atividades e a equipe de saúde do posto, garantindo que os serviços sejam prestados de forma eficiente e adequada aos pacientes.