O que eu deveria comprar pra cuidar da pele? Tenho algumas espinhas e manchas.

Te recomendo ir num dermatologista avaliar a sua situação.
De início é básico, eu usaria um sabonete de enxofre, um creme para pele oleosa, protetor solar e um tônico adstringente para peles com acne.
Manhã: sabonete, creme, protetor solar
Noite: sabonete, tônico, creme

Você precisa ir ao dermato. Mas a princípio vá usando as dicas da @Milly_G que são muito boas.

Lixa de parede 80. Acaba com tudo.

Milly G falou tudo
O sabonete de enxofre é bom e barato e pode ser usado em todo o corpo.
Mas é importante você lembrar de se hidratar bem e ter uma boa alimentação também.

Essas manchas podem ser tratadas com alguma pomada que um dermatologista pode te indicar. Agora se sua Acne for do tipo persistente, seria interessante tratar ela, pois de nada adianta tratar as manchas se a causa disso não for eliminada.

Tenho interesse em saber também.

Ácido